MATEMATIKA_Bayu Putra Setio W: September 2013

Program Linear

Jumat, 27 September 2013 di 20.31 Diposting oleh Unknown 0 Comments

Program linear yaitu suatu metode untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari bentuk linear pada daerah yang dibatasi grafik -grafik fungsi linear.

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupakan suatu himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang cartesius yang memenuhi semua pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut. Sehingga daerah himpunan penyelesaiannya merupakan irisan himpunan-himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah itu. Untuk lebih mudah dalam memahami daerah penyelesaian dari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh berikut.

Contoh:
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut!
3x + 5y $\leqslant$ 15
x $\geqslant$ 0
y $\geqslant$ 0
Penyelesaian:
Gambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0
Untuk 3x + 5y $\leqslant$ 15
Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
3 × 0 + 5× 0 $\leqslant$ 15
0 $\leqslant$ 15 (benar), artinya dipenuhi
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0)
Untuk x $\geqslant$ 0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 $\geqslant$ 0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1)
Untuk y $\geqslant$ 0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:
1 $\geqslant$ 0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1).
Selanjutnya arsir daerah yang memenuhi persamaan, seperti gambar dibawah ini.

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut ini (daerah yang diarsir).

Pertidaksamaan Linear juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini dapat dilakukan dengan memodelkan masalah menjadi model matematika. Jadi, Model matematika merupakan suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.

Perhatikan contoh berikut :

Pak Adi merupakan seorang pedagang roti. Beliau menjual roti menggunakan gerobak yang dapat memuat 600 bungkus roti. Roti yang dijualnya yaitu roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing Rp 5.500,00 untuk roti manis dan Rp 4.500,00 untuk roti tawar per bungkusnya. Dari penjualan roti tersebut, beliau memperoleh keuntungan Rp 500,00 dari sebungkus roti manis dan Rp 600,00 dari sebungkus roti tawar. Apabila modal yang dimiliki oleh Pak Budi adalah Rp 600.000, buatlah model matematika agar beliau dapat memperoleh keuntungan sebesar-besarnya!

Penyelesaian :

Permasalahan Pak Adi diatas dapat dimodelkan dalam bentuk matematika dengan menggunakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dengan memisalkan banyaknya roti manis sebgai x dan roti tawar sebagai y sehingga diperoleh tabel sebagai berikut.

Berdasarkan tabel diatas jika kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan linear menjadi

x + y ≤ 600,
5.500x + 4.500y ≤ 600.000,
Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0

Dua pertidaksamaan terakhir (baris ketiga) menunjukkan syarat dari nilai x dan y. Dikarena x dan y merupakan pernyataan yang menyatakan banyaknya roti, maka tidak mungkin nilai x dan y bernilai negatif.

Perhatikan kolom keempat dari tabel di atas yang menyatakan fungsi yang akan ditentukan nilai maksimumnya (nilai optimum). Fungsi tersebut dapat dituliskan dalam persamaan matematika sebagai berikut.

f(x,y) = 500x + 600y

untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan diatas kita dapat mengikuti langkah berikut :
1. Ubah masalah tersebut ke dalam model matematika yaitu dengan membuat tabel, fungsi pembatas dan fungsi tujuan. Tabel di sini untuk mempermudah membaca data. Fungsi pembatas/kendala yaitu beberapa pertidaksamaan linier yang berhubungan dengan permasalahan tersebut. Fungsi tujuan/objektif yaitu suatu fungsi yang berhubungan dengan tujuan yang akan dicapai. Biasanya fungsi tujuan dinyatakan dengan f(x,y) = ax + by atau z = ax + by
2. Lukislah daerah penyelesaian dari fungsi pembatasnya
3. Tentukan koordinat-koordinat titik ujung daerah penyelesaian. Jika belum ada gunakan bantuan eliminasi dari perpotongan 2 garis
4. Ujilah masing-masing titik ujung daerah penyelesaian
5. Tentukan nilai terbesar/terkecilnya sesuai dengan tujuan yang akan dicapai

Pengertian Integral

Jumat, 20 September 2013 di 20.51 Diposting oleh Unknown 0 Comments

Pengertian Integral

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah $\int\,$

Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Rumus umum dan bentuk - bentuk fungsi integral :

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!$

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$

$\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\!$

$\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C$

$\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C$

Integral 1

di 20.49 Diposting oleh Unknown 0 Comments

$\int (2x^2 + 4x - 5) \: \mathrm{d}x = \dots$

$\frac{2}{3} x^3 + 2x^2 - 5x + C$
$\int 5x \sqrt[3]{x^2} \: \mathrm{d}x = \dots$

$\begin{align*} \int 5x \sqrt[3]{x^2} \: \mathrm{d}x &= \int 5x \cdot x^\frac{2}{3} \: \mathrm{d}x \\ &= \int 5x^\frac{5}{3} \: \mathrm{d}x \\ &= 5 \cdot \frac{3}{8} \cdot x^\frac{8}{3} + C \\ &= \frac{15}{8} x^2 \sqrt[3]{x^2} + C \\ \end{align*}$
$\int x(2x-1)^2 \: \mathrm{d}x = \dots$

$\begin{align*} \int x(2x-1)^2 \: \mathrm{d}x &= \int x(4x^2 - 4x + 1) \: \mathrm{d}x \\ &= \int (4x^3 - 4x^2 + x) \: \mathrm{d}x \\ &= x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \end{align*}$
$\int \frac{x^3 - 1}{\sqrt{x^3} - \sqrt{x}} \: \mathrm{d}x = \dots$

$\begin{align*} \int \frac{x^3 - 1}{\sqrt{x^3} - \sqrt{x}} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)\sqrt{x}} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{\cancel{(x-1)}(x^2+x+1)}{\cancel{(x-1)}\sqrt{x}} \: \mathrm{d}x \\ &= \int x^{-\frac{1}{2}}(x^2+x+1) \: \mathrm{d}x \\ &= \int x^\frac{3}{2} + x^\frac{1}{2} + x^{-\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{5}x^\frac{5}{2} + \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + 2x^\frac{1}{2} + C \\ &= \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C \end{align*}$
Sebuah kurva mempunyai turunan $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^2 - 2x$ . Kurva tersebut melewati titik $(2, 5)$ . Tentukan persamaan kurva tersebut.
- Pertama cari dahulu integral dari turunan
  $\int 3x^2 - 2x \: \mathrm{d}x = x^3 - x^2 + C$
- Selanjutnya cari nilai C dengan memasukkan titik $(2, 5)$ ke persamaan
  $\begin{align*} y &= x^3 - x^2 + C \\ 5 &= 2^3 - 2^2 + C \\ 5 &= 8 - 4 + C \\ 5 &= 4 + C \\ C &= 1 \end{align*}$
  Jadi Persamaan kurva tersebut adalah $y = x^3 - x^2 + 1$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{4x^3} = \dots$

$\begin{align*} \int \frac{\mathrm{d}x}{4x^3} &= \frac{1}{4} \int x^{-3} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{4} (\frac{x^{-2}}{-2}) + C \\ &= \frac{x^{-2}}{-8} + C \\ &= - \frac{1}{8x^2} + C \end{align*}$
$\int \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - x} \: \mathrm{d}x = \dots$

$\begin{align*} \int \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - x} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{(x-1)(x-3)}{x(x-1)} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{\cancel{(x-1)}(x-3)}{x\cancel{(x-1)}} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{x-3}{x} \: \mathrm{d}x \\ &= \int 1 - \frac{3}{x} \: \mathrm{d}x \\ &= \int 1 \: \mathrm{d}x - \int \frac{3}{x} \: \mathrm{d}x \\ &= x - 3 \ln{|x|} + C \end{align*}$
$\int (a^\frac{1}{3} - x^\frac{1}{3})^3 \: \mathrm{d}x = \dots$

Ingat bahwa : $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$\begin{align*} \int (a^\frac{1}{3} - x^\frac{1}{3})^3 \: \mathrm{d}x &= \int (a^\frac{1}{3})^3 - 3(a^\frac{1}{3})^2x + 3a(x^\frac{1}{3})^2 - (x^\frac{1}{3})^3\: \mathrm{d}x \\ &= \int a - 3a^\frac{2}{3}x + 3ax^\frac{2}{3} + x \: \mathrm{d}x \\ &= ax - 3a^\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}x^2 + 3a \cdot \frac{3}{5} \cdot x^\frac{5}{3} - \frac{1}{2}x^2 + C \\ &= ax - \frac{3}{2}a^\frac{2}{3}x^2 + \frac{9}{5}ax^\frac{5}{3} + C \\ &= ax - \frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2}x^2 + \frac{9}{5}ax\sqrt[3]{x^2} + C \end{align*}$
$\int \frac{4x^6 - 3x^5 - 8}{x^7} \: \mathrm{d}x = \dots$

$\begin{align*} \int \frac{4x^6 - 3x^5 - 8}{x^7} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{4}{x} - \frac{3}{x^2} - \frac{8}{x^7} \: \mathrm{d}x \\ &= 4 \ln{|x|} - 3 (-1) (x^{-1}) - 8 (-\frac{1}{6})(x^{-6}) + C \\ &= 4 \ln{|x|} + \frac{3}{x} + \frac{8}{6x^6} + C \\ \end{align*}$
$\int \frac{\sqrt{x^3}-x^3}{\sqrt{x}-x} \: \mathrm{d}x = \dots$

Ingat bahwa : $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

$\begin{align*} \int \frac{\sqrt{x^3}-x^3}{\sqrt{x}-x} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{(x^3)^\frac{1}{2} - x^3}{x^\frac{1}{2} - x} \: \mathrm{d}x \\ &=\int \frac{(x^\frac{1}{2})^3 - x^3}{x^\frac{1}{2} - x} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{(x^\frac{1}{2} - x)\left((x^\frac{1}{2})^2 + (x^\frac{1}{2})(x) + (x)^2\right)}{(x^\frac{1}{2} - x)} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{\cancel{(x^\frac{1}{2} - x)}\left((x^\frac{1}{2})^2 + (x^\frac{1}{2})(x) + (x)^2\right)}{\cancel{(x^\frac{1}{2} - x)}} \: \mathrm{d}x \\ &= \int x + x^\frac{3}{2} + x^2 \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} x^2 + \frac{2}{5}x^\frac{5}{2} + \frac{1}{3}x^3 + C \\ &= \frac{1}{2} x^2 + \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{1}{3}x^3 + C \end{align*}$